题目

如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为

5

的等腰直角三角尺ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（-1，0），点B的坐标为（-3，1），点B在抛物线y=ax²+ax-2上．

（1）点A的坐标为______；抛物线的关系式为______；
（2）设（1）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；
（3）将三角尺ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△AB′C′的位置．请判断点B′、C′是否在（1）中的抛物线上，并说明理由．
【提示：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是x=-

b

2a

，顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）]．

提问时间：2020-11-23

答案

由题意得
（1）∵AC=，CO=1，
∴AO=

( 5 )2-12

=2，
∴A（0，2），
做BF⊥OC，
∵BC=AC，∠AOC=∠BFC，
∠CAO=∠BCF，
∴△BFC≌△COA，
∴CF=AO=2，
∴B（-3，1）
将B（-3，1）代入y=ax²+ax-2得：
1=9a-3a-2，
∴a=

1

2

，
∴y=

1

2

x²+

1

2

x-2．
（2）如图1，可求得抛物线的顶点（-

1

2

，

17

8

）．
设直线BD的关系式为y=kx+b，将点B、D的坐标代入，
求得k=-

5

4

，b=-

11

4

，
∴BD的关系式为y=-

5

4

x-

11

4

．
设直线BD和x轴交点为E，则点E（

11

5

，0），CE=

6

5

．
∴△DBC的面积为S_CBE+S_CED=

1

2

×

6

5

×1+

1

2

×

6

5

×

17

8

，
=

15

8

．
（3）如图2，过点B′作B′M⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，
过点C″作C″P⊥y轴于点P．（8分）
在Rt△AB′M与Rt△BAN中，
∵AB=AB′，∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM-∠AMB'-∠ANB，
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．
∴B′M=AN=1，AM=BN=3，
∴B′（1，-1）．
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得点C′（2，1）；
将点B′、C′的坐标代入y=

1

2

x²+

1

2

x-2，可知点B′、C′在抛物线上．
（事实上，点P与点N重合）

（1）求A点的坐标就是求OA的长，可在直角三角形OAC中，根据AC=

5

，OC=1来求出OA的长，即可得出A的坐标．如果过B作x轴的垂线，假设垂足为F，那么△ACO≌△CBH，OA=CF，BF=OC，由此可求出B的坐标；将已经求出的A，B的坐标代入抛物线的解析式中即可求出抛物线的解析式；
（2）根据（1）的函数关系式即可求出D点的坐标．求△DBC的面积时，可将△DBC分成△CBE和△DCE两部分（假设BD交x轴于E）．可先根据B，D的坐标求出BD所在直线的解析式，进而求出E点的坐标，那么可求出CE的长，然后以B，D两点的纵坐标的绝对值分别作为△BCE和△DCE的高，即可求出△DBC的面积；
（3）本题的关键是求出B′，C′两点的坐标．过点B′作B′M⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，过点C″作C″P⊥y轴于点P．然后仿照（1）中求坐标时的方法，通过证Rt△AB′M≌Rt△BAN来得出B′的坐标．同理可得出C′的坐标．然后将两点的坐标分别代入抛物线的解析式中，进而可判断出两点是否在抛物线上．

本题考点：二次函数综合题．

考点点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形全等、图形旋转变换等重要知识点；综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．