题目

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁₀=0，S₁₅=25，则nS_n的最小值为（　　）
A. -47
B. -48
C. -49
D. -50

提问时间：2020-11-22

答案

设数列{a_n}的首项为a₁，公差为dd，则S₁₀=10a1+

10×9

2

d＝10a1+45d＝0，①
SS15＝15a1+

15×14

2

d＝15a1+105d＝25．②
联立①②，得a1＝−3，d＝

2

3

，
∴Sn＝−3n+

n(n−1)

2

×

2

3

＝

1

3

n2−

10

3

n．
令f（n）=nS_nnSn，则f(n)＝

1

3

n3−

10

3

n2，f′(n)＝n2−

20

3

n．
令f′（n）=0，得nn=0或n＝

20

3

．
当n＞

20

3

时，f′（n）＞0，0＜n＜

20

3

时，f′（n）＜0，
∴当n＝

20

3

时，f（n）取最小值，而nn∈N^*，又ff（6）=-48，ff（7）=-49，
∴当nn=7时，ff（nn）取最小值-49．
故选：C．