题目

已知函数f（x）=mx³+nx²的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，若f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，则实数t的取值范围是______．

提问时间：2020-11-22

答案

由已知条件得f'（x）=3mx²+2nx，
由f'（-1）=-3，∴3m-2n=-3．
又f（-1）=2，∴-m+n=2，
∴m=1，n=3
∴f（x）=x³+3x²，∴f'（x）=3x²+6x．
令f'（x）＜0，即x²+2x＜0，
函数f（x）的单调减区间是（-2，0）．
∵f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
则实数t的取值范围是[-2，-1]
故答案为[-2，-1]．

先对函数f（x）进行求导，又根据f'（-1）=-3，f（-1）=2可得到关于m，n的值，代入函数f（x）可得f'（x），当f'（x）＜0时x的取值区间为减区间，从而解决问题．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的单调性与导数的关系．

考点点评：本题主要考查通过求函数的导数来求函数增减区间的问题、利用导数研究曲线上某点切线方程．属于基础题．