题目

线性代数里Ax=b或者Ax=0当只有唯一解时,系数矩阵A是不是一定可以构成行列式?
当Ax=b或者Ax=0只有唯一解时,系数矩阵A是不是一定 行数=列数,构成的这个行列式不等于零,如果方程的个数大于未知数的个数的时候,是什么情况?
我基本都明白了，只有有一点想再确认下，就是你举的那个例子，在第一次变形也就是有两个方程变成三个的时候
“下面增加方程个数，
X1+X2=3
2X1+X2=4
2X1+2X2=6,
显然第3个方程是第1个的变形，化简后增广矩阵的秩为2等于未知数个数，方程组仍然有唯一解。
”
这个例子是不是就能说明“当方程个数大于未知数个数时，就无法用行列式判别”因为他是个3*2矩阵，构不成行列式？

提问时间：2020-11-22

答案

必须是行数大于等于列数,且增广矩阵（由系数矩阵A加上列矩阵b）的秩等于系数矩阵的列数,即增广矩阵的秩必须等于未知数个数,方程有唯一解.行列式不等于0,只适用于方程个数与未知数个数相等的情况,当方程个数大于未知数个数时,就无法用行列式判别.
举个例子：
X1+X2=3
2X1+X2=4
借这个方程组显然得到唯一一组解X1=1,X2=2,
下面增加方程个数,
X1+X2=3
2X1+X2=4
2X1+2X2=6,
显然第3个方程是第1个的变形,化简后增广矩阵的秩为2等于未知数个数,方程组仍然有唯一解.
再变换一下
X1+X2=3
2X1+2X2=6
3X1+3X2=9
将增广矩阵化简后发现,其秩为1,方程组有无限多解.
总结一下,
方程组的增广矩阵的秩等于未知数个数时,方程唯一解
方程组的增广矩阵的秩小于未知数个数时,方程组无限多解.
忘了一个重要前提,就是系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等时,方程组才有可能有解,否则无解,举例说明一下
X1+X2=3
0X1+0X2=6
显然系数矩阵的秩为1,增广矩阵的秩为2,一般而言,增广矩阵的秩大于系数矩阵的时,经过线性变换,都会出现类似于“0X1+0X2=6”这种情况,啰嗦这么多,不知道说明白没有.