题目

反比例函数xy=k的图像,－4≤x≤－1时,－4≤y≤－1
若M,N分别在反比例函数图像的两分支上的两个动点.若以点O,点M,点N为顶点,组成一个三角形,求△MNO的周长的取值范围

提问时间：2020-11-21

答案

－4≤x≤－1时,－4≤y≤－1,∴k=4.
设M(m,4/m),N(n,4/n),m>0>n,m+n≠0,
OM=√[m^2+(4/m)^2]>=√（2m^2*16/m^2)=2√2,当m=土2时取等号,
同理ON|min=2√2.
下面用导数求w=MN^2=(m-n)^2+(4/m-4/n)^2=(m-n)^2*[1+16/(mn)^2]的驻点坐标：
w’m=2(m-n)[1+16/(mn)^2]-32(m-n)^2/(m^3n^2)=0,
化简得m^3n^2+16m-16(m-n)=0,m^3n=-16,
同理由w’n=0得n^3m=-16.
解得m=2,n=-2,这时w=32,|MN|=4√2.
∴△MNO的周长L=OM+ON+MN>8√2,为所求.