题目

已知不等式ax²-3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，
（1）求a，b；
（2）解不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0．

提问时间：2020-11-21

答案

（1）因为不等式ax²-3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x₁=1与x₂=b是方程ax²-3x+2=0的两个实数根，
且b＞1．由根与系的关系得

1+b＝ 3 a 1×b＝ 2 a

，解得

a＝1 b＝2

，所以得

a＝1 b＝2

．
（2）由于a=1且 b=2，所以不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0，
即x²-（2+c）x+2c＜0，即（x-2）（x-c）＜0．
①当c＞2时，不等式（x-2）（x-c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
②当c＜2时，不等式（x-2）（x-c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
③当c=2时，不等式（x-2）（x-c）＜0的解集为∅．
综上所述：当c＞2时，不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
当c＜2时，不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
当c=2时，不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0的解集为∅．

（1）一元二次不等式解集的端点就是对应一元二次方程的根，再利用一元二次方程根与系数的关系解出a，b．
（2）先把一元二次不等式变形到（x-2）（x-c）＜0，分当c＞2时、当c＜2时、当c=2时，三种情况求出此不等式的解集．

本题考点：一元二次不等式的解法．

考点点评：本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题．