题目

在二阶的常系数非齐次线性微分方程中,记特征方程为λ^2+pλ+q=0.
若特征方程的解为虚数,但f（X）为x的二次多项式,不是e^λx[R(X)cos wx+P(x)sin wx]的形式,则该如何求解f（x）?如下题：y'+y=x^2；

提问时间：2020-11-21

答案

第一个问题特解形式x^ke^λx[R(X)cos wx+P(x)sin wx],是否含有正余弦,取决于非齐次项e^λx中的λ,如果λ是虚数,特解才会含有正余弦.λ是否为特征方程的解决定x^ke^λx[R(X)cos wx+P(x)sin wx]中x^k中的k的取值.
第二个问题的y'+y=x^2的特征方程为r^2+1=0,解出λ=+i或-i；
又因为本题中不含e^λx,所以λ=0,不是特征方程的跟,
所以假设特解形式为x^0e^0x(ax^2+bx+c)=ax^2+bx+c,
然后代入原方程y'+y=x^2,利用待定系数法,求出a,b,c,就把特解求出来了.
补充：如果你有高等数学教材,结合我的解答看一下就明白了.