题目
四棱锥P-ABCD中,侧面PDC是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直,角ADC=60度且ABCD为菱形,M为PB的中点
(1)求证:PA垂直平面CDM
(2)求二面角D-MC-B的余弦值
(1)求证:PA垂直平面CDM
(2)求二面角D-MC-B的余弦值
提问时间:2020-11-21
答案
第一个问题:
过M作MN∥CD交PA于N.
∵ABCD是菱形,∴BA∥CD,而MN∥CD,∴MN∥BA,又M∈PB且BM=PM,∴AN=PN.
∵ABCD是菱形,∴AD=DC,又∠ADC=60°,∴△ACD是正三角形,∴AC=DC.
∵△PDC是正三角形,∴PC=DC.
∵AC=DC、PC=DC,∴AC=PC,又N∈PA且AN=PN,∴PA⊥CN.
∵ABCD是菱形,∴AD=DC.
∵△PDC是正三角形,∴PD=DC.
∵AD=DC、PD=DC,∴AD=PD,又N∈PA且AN=PN,∴PA⊥DN.
由PA⊥CN、PA⊥DN、CN∩DN=N,得:PA⊥平面CDN.
∵MN∥CD,∴C、D、N、M共面,而PA⊥平面CDN,∴PA⊥平面CDM.
第二个问题:
∵ABCD是菱形,∴BC=DC.
∵△PDC是正三角形,∴PC=DC.
由BC=DC、PC=DC,得:BC=PC,又M∈PB且BM=PM,∴MC⊥PM.
由第一个问题的结论,有:PA⊥平面CDM,∴MC⊥PA.
由MC⊥PM、MC⊥PA、PM∩PA=P,∴MC⊥平面PAB,而MN在平面PAB上,∴MN⊥MC.
由PM⊥MC、MN⊥MC,得:∠PMN为二面角D-MC-B的平面角.
∵MN∥BA,∴∠PMN=∠PBA.
∵PA⊥平面CDM,∴DC⊥PA,而AB∥DC,∴AB⊥PA.
取DC的中点为E,过B作BF⊥DC交DC的延长线于F.
∵△PCD是正三角形、E∈DC且CE=DE,∴PE⊥DC.
∵平面PCD⊥平面ABCD、平面PCD∩平面ABCD=DC、PE⊥DC,∴PE⊥平面ABCD,
∴PE⊥BE.
∵AD∥BC,∴∠BCF=∠ADC=60°,又BC=2、BF⊥CF,∴CF=1、BF=√3.
显然有:CE=DC/2=1,∴EF=CE+CF=1+1=2.
∴由勾股定理,有:BE=√(BF^2+EF^2)=√(3+4)=√7.
∴再由勾股定理,有:PB=√(PE^2+BE^2)=√(7+3)=√10.
由锐角三角函数定义,有:cos∠PBA=AB/PB=2/√10=√10/5.
∴二面角D-MC-B的余弦值是 √10/5.
过M作MN∥CD交PA于N.
∵ABCD是菱形,∴BA∥CD,而MN∥CD,∴MN∥BA,又M∈PB且BM=PM,∴AN=PN.
∵ABCD是菱形,∴AD=DC,又∠ADC=60°,∴△ACD是正三角形,∴AC=DC.
∵△PDC是正三角形,∴PC=DC.
∵AC=DC、PC=DC,∴AC=PC,又N∈PA且AN=PN,∴PA⊥CN.
∵ABCD是菱形,∴AD=DC.
∵△PDC是正三角形,∴PD=DC.
∵AD=DC、PD=DC,∴AD=PD,又N∈PA且AN=PN,∴PA⊥DN.
由PA⊥CN、PA⊥DN、CN∩DN=N,得:PA⊥平面CDN.
∵MN∥CD,∴C、D、N、M共面,而PA⊥平面CDN,∴PA⊥平面CDM.
第二个问题:
∵ABCD是菱形,∴BC=DC.
∵△PDC是正三角形,∴PC=DC.
由BC=DC、PC=DC,得:BC=PC,又M∈PB且BM=PM,∴MC⊥PM.
由第一个问题的结论,有:PA⊥平面CDM,∴MC⊥PA.
由MC⊥PM、MC⊥PA、PM∩PA=P,∴MC⊥平面PAB,而MN在平面PAB上,∴MN⊥MC.
由PM⊥MC、MN⊥MC,得:∠PMN为二面角D-MC-B的平面角.
∵MN∥BA,∴∠PMN=∠PBA.
∵PA⊥平面CDM,∴DC⊥PA,而AB∥DC,∴AB⊥PA.
取DC的中点为E,过B作BF⊥DC交DC的延长线于F.
∵△PCD是正三角形、E∈DC且CE=DE,∴PE⊥DC.
∵平面PCD⊥平面ABCD、平面PCD∩平面ABCD=DC、PE⊥DC,∴PE⊥平面ABCD,
∴PE⊥BE.
∵AD∥BC,∴∠BCF=∠ADC=60°,又BC=2、BF⊥CF,∴CF=1、BF=√3.
显然有:CE=DC/2=1,∴EF=CE+CF=1+1=2.
∴由勾股定理,有:BE=√(BF^2+EF^2)=√(3+4)=√7.
∴再由勾股定理,有:PB=√(PE^2+BE^2)=√(7+3)=√10.
由锐角三角函数定义,有:cos∠PBA=AB/PB=2/√10=√10/5.
∴二面角D-MC-B的余弦值是 √10/5.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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