题目

设a,b,c为不等于1的正数,且a^x=b^y=c^z,xy+yz+xz=0,求abc

提问时间：2020-11-21

答案

设a^x=b^y=c^z=k
则loga(k)=x,logb(k)=y,logc(k)=z
又因为xy+yz+xz=0则：
loga(k)*logb(k)+logb(k)*logc(k)+loga(k)*logc(k)=0(1)
把（1）式变形
1/logk(a)*1/logk(b)+1/logk(b)*1/logk(c)+1/logk(a)*1/logk(c)=0
即1/logk(a+b)+1/logk(b+c)+1/logk(a+c)=0（2）
要使(2)式成立
即：a+b=1
b+c=1
a+c=1
a=1/2,b=1/2,c=1/2
abc=1/8