已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞1时，f（x+1）=f（x）+f（1），且若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为_． - 超级试练试题库

题目

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x²，当x＞1时，f（x+1）=f（x）+f（1），且若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为______．

提问时间：2020-11-20

答案

当0≤x≤1时，f（x）=x²，当x＞1时，f（x+1）=f（x）+f（1），
当1≤x≤2时，f（x）=f（x-1）+f（1）=（x-1）²+1，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点，
∴x＞0时，两个函数的图象，只有2个交点，如图：
设切点为（a，f（a））．
f′（x）=2x-2．
则：

a2−2a+2

＝2a−2，解得a=

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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