题目

在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线交点,平面CDE是等边三角形,EF//=1/2BC求证（1）EO//平面CDF(2)设BC=根号3CD证明FO垂直平面CDE
注意从左到右的字母排序依次是EABFDC,请勿搞错

提问时间：2020-11-20

答案

本来是昨天给你回答的,但是我写了2遍,都快写好了结果电脑卡了,都没了,我当时又有事,所以今天帮你回答.
证明：（1）过O点作BC的平行线交AB与CD分别为M、N,
因为O是矩形的对角线的交点,
所以ON//=1/2BC,又因为EF//=1/2BC,则
ON//=EF
故四边形ONFE为平行四边形,因此OE//NF,又知NF在平面CDF上,
所以 OE//平面CDE.
(2)ON=1/2BC,BC=√3CD；所以ON=√3/2CD,
CDE为等边三角形,OE是它的中心线,则
OE=√3/2CD,由上
OE=ON,ONFE为平行四边形,可得
ONFE为菱形,FO与NE是对角线,故有FO⊥NE;
FO在平面ABCD上的射影为ON,已知ON⊥CD,故由射影定理
FO⊥CD,FO⊥NE,CD和NE都在平面CDE上,故由垂直定理
FO⊥平面CDE.