题目

数论 关于最小公倍数
求证：[a,b,c](a,b)(b,c)(c,a)=abc(a,b,c) 其中(a,b)为最大公约数 [a,b]为最小公倍数
a,b,c均为正整数

提问时间：2020-11-20

答案

(a,b)(b,c)(c,a)
=(ab,ac,b²,bc)(c,a)
=(abc,a²b,ac²,a²c,b²c,b²a,bc²,abc,abc)
=(ab(c,a,b),ac(b,c,a),bc(a,b,c))
=(a,b,c)(ab,bc,ca)
只需证明:
abc=[a,b,c](ab,bc,ca)
因为:
abc
=[a,b](a,b)c
=[[a,b],c]([a,b],c)(a,b)
=[a,b,c]([a,b](a,b),c(a,b))
=[a,b,c](ab,bc,ca)