题目

概率及不等式证明
n≥2,Tn为方程x^2+2ax+b=0有实根的有序数组(a,b)的组数,a,b∈{1,2,…,n},随机选取a,b∈{1,2,…,n},记Pn为方程x^2+2ax+b=0有实根的概率,
(1)求Tn^2,Pn^2 ( 说明n^2为下标）
(2)证明：对任意正整数n≥2,Pn>1-1/√n

提问时间：2020-11-20

答案

(1)Tn^2=（加和号i从1到n）[i^2-(i-1)^2][n^2-(i-1)]
而Pn^2=Tn^2/n^4
(2)需证n^2+3(n^2-1)+5(n^2-2)+...+(2n-1)(n^2-(n-1))>n^4-n^(7/2)
需证n^2(1+3+5+...+2n-1)-(3*1+5*2+...+(2n-1)(n-1))>n^4-n^(7/2)
需证3*1+5*2+...+(2n-1)(n-1)(放缩)需证(3+5+...+2n-1)(n-1)n^3-n^2-n+1(放缩)n^3而此式显然