题目

设A是两个整数平方差的集合,即A=m²-n²,m,n∈Z
(1)求证：若s,t∈A,则st∈A (2)若s,t属于A,t≠0,那么s/t∈A是否成立?若成立给出证明,若不成立举出反例.

提问时间：2020-11-20

答案

（1）证明：因为s,t∈A
所以正整数a b c d,使得s=a^2-b^2 t=c^2-d^2
st=(a^2-b^2)(c^2-d^2)
=(a+b)(a-b)(c+d)(c-d)
=(ac+ad+bc+bd)(ac+bd-ad-bc)
=(ac+bd)^2-(ad+bc)^2
因为ac+bd和ad+bc都是正整数,所以st∈A
（2）不成立
令s=3^2-2^2=5
t=4^2-3^2=7
s/t=5/7,不是正整数
因为对任意a∈A,a都是正整数
所以s/t不属于A