题目

数列{an}满足 a1=2,a2=5,an+2=3an+1-2an.(1)求证:数列{an+1-an}是等比数列; (2)
数列{an}满足 a1=2,a2=5,a（n+2）=3a（n+1）-2an.
(1)求证:数列{a（n+1）-an}是等比数列;
(2)求数列{an}通式
（3）求数列{an}前n项和Sn
PS：求说明方法,比如叠加、叠成什么的.

提问时间：2020-11-20

答案

(1)证明：由条件得a[n+2]-a[n+1]=2(a[n+1]-a[n])
首项为a[2]-a[1]=5-2=3,公比为2,所以{a[n+1]-a[n]}为等比数列
由(1)得a[n+1]-a[n]=3*2^(n-1),所以
a[n]-a[n-1]=3*2^(n-2)
a[n-1]-a[n-2]=3*2^(n-3)
……
a[2]-a[1]=3
跌加前后相消有a[n]-a[1]=3*[2^(n-2)+2^(n-3)+…+2+1]=3*[2^(n-1)-1]
所以数列通项a[n]=a[1]+3*[2^(n-1)-1]=3*2^(n-1)-1 (n∈N+)
S[n]=a[1]+a[2]+…+a[n]=3*[1+2+…+2^(n-1)]-n=3*(2^n-1)-n=3*2^n-n-3 (n∈N+)