题目

已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（5,0）、B（6,-6）和原点．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若过点B的直线y=kx+b'与抛物线相交于点C（2,m）,请求△OBC的面积S的值.
（3）过点C（1,4）作平行于x轴的直线交y轴于点D,在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上,任取一点P,过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F,交直线DC于点E．直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED（如图）,是否存在点P,使得△OCD与△CPE相似?若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．

提问时间：2020-11-20

答案

(1)代入三点得
25a+5b+c=0
36a+6b+c=-6
c=0
解得a=-1,b=5,c=0
所以抛物线的函数关系式为y=-x^2+5x
（2）C点在抛物线上,
所以-1×2^2+5×2=m
即m＝6
因为B（6,－6）,直线过B、C两点
所以2k+b=6,6k+b=-6
解得k=-3,b=12
所以直线为y＝-3x+12
令y＝0,解得x＝4
所以直线与x轴交于D（4,0）
所以（yC、yB为C、B点纵坐标值）
S＝S三角形COD＋S三角形BOD
＝|OD×yC|÷2＋|OD×yB|÷2
＝4×6÷2＋4×6÷2
＝24
(3)
设p（m,n） p在抛物线上,所以n=-m2(m的平方)+5m 计算得OD=4,DC=1,OD/DC=4.由于△OCD,△CPE都是直角三角形,△CPE两直角边比为4就与△OCD相似,设CE/EP=4,则（m-1）/(4+m2-5m)=4,得m=17/4,n=51/16 设EP/CE=4,则(4+m2-5m)/（m-1)=4,得m=8,n=-24 所以P存在为（17/4,51/16） 或（8,-24）