题目

已知函数y=x³+3ax²+3bx+c在x=2处有极值，且其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．
（1）求函数的单调区间；  
（2）求函数的极大值与极小值的差．

提问时间：2020-11-19

答案

（1）∵函数y=x3+3ax2+3bx+c，∴y'=3x2+6ax+3b，∵函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，∴当x=2时，y′=0，即12+12a+3b=0，①∵函数图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，∴k=y′|x=1=3+6a+3b=-3，②联立①②，解得...

（1）根据极值点是导函数对应方程的根，可知x=2为y′=0的根，结合导数的几何意义有k=y′|_x=1，列出关于a，b的方程组，求解可得到y的解析式，令y′＞0和y′＜0，即可求得函数的单调区间； 
（2）根据（1）可得y′=0的根，再结合单调性，即可得到函数的极大值与极小值，从而求得答案．

本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题考查了导数的几何意义，导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．考查了利用导数研究函数的极值，求函数极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值．