题目

关于x的方程|x^2+ax+b|=2有三个不同实数跟,且三个不同实数跟恰好是一个直角三角形的三边.求这个直角三角形三边的长.

提问时间：2020-11-19

答案

方程|x^2+ax+b|=2可以分化为两个一元二次方程：
x^2+ax+b=2
x^2+ax+b=-2
根据题意知上面两组方程有三个不同实根,且三个不同实数根恰好是一个直角三角形的三边,说明这组方程的解都是三个正数并且有三种情况：
1）每个方程都有两个不同实数根,但有一个是相同的
2）方程x^2+ax+b=2有两个不同实数根（x1,x2),方程x^2+ax+b=-2有两个相同实数根(x3,x4)
3）方程x^2+ax+b=2有两个相同实数根,方程x^2+ax+b=-2有两个不同实数根
现在分开讨论
如果第一种情况存在,设相同的根是t,将t代入这组方程得到
t^2+at+b=2
t^2+at+b=-2
这种不可能,所以排除
如果第二种情况存在,则由韦达定理知x1+x2=-a,x1*x2=b-2.x3+x4=-a,x3*x4=b+2 .设x3=x4=t（t大于0）
那么t^2=b+2,得t=根号（b+2）进而得到a=-2倍根号（b+2）【因为2t=-a】.所以有x1+x2=2倍根号（b+2）,x1*x2=b-2
解得x1=根号（b+2）+2,x2=根号（b+2）-2
x1,x2,t构成直角三角形三条边
所以有[根号（b+2）+2]^2=[根号（b+2）-2]^2+[根号（b+2）]^2
解得b=62
所以x1=根号（b+2）+2=8+2=10(b=62)
x2=根号（b+2）-2=8-2=6(b=62)
t=根号（b+2）=8(b=62)
再讨论第三种情况存在时,设x1=x2=t
同理x1+x2=-a,x1*x2=b-2,x3+x4=-a,x3*x4=b+2
由x1*x2=b-2得t=根号（b-2)进而得到
x3+x4=-a=2倍根号（b-2),x3*x4=b+2
由这组关系式用韦达定理可以将x3,x4看做方程
x^-[2倍根号（b-2)]x+b+2=0的解
然而x^-[2倍根号（b-2)]x+b+2=[x-根号（b-2)]^2+4,这个关系式大于0
所以该方程无解,也就是第三种情况不存在.
综上三种情况分析只有第二种情况存在,满足题意要求
故直角三角形三条边长分别是6,810（从小到大）