题目

求高中数学数列用倒序相加法,裂项法,合并法求和的例题
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提问时间：2020-11-19

答案

1.倒叙相加法：
最基本的
1+2+3+4……+100
=(1+100)+(2+99)+(3+98)...(48+53)+(49+52)+(50+51)
=101*50
=5050
稍微复杂的
f{x}=1/[2^x+√2]求f[-5]+f{-4}+……+f{0}+……+f{5}+f{6}的值
所以S=f(-5)+f(-4)+……+f(0)+……+f(5)+f(6)
S=[f(-5)+f(6)]+[f(-4)+f(5)]+[f(-3)+f(4)]+[f(-2)+f(3)]+[f(-1)+f(2)]+[f(0)+f(1)]
而f(-5)+f(6)...f(0)+f(1)等式子都满足f(x)+f(1-x)的形式
也即使f(-5)+f(6)...f(0)+f(1)的值都是√2/2
所以S=6×√2/2=3√2
2.裂项法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：
（ 1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
( 2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
　　（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
　　（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
　　（5） n·n!=(n+1)!-n!
简单的
1.求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
设 an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）
　　则 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）
　　＝ 1-1/(n+1)
　　＝ n/(n+1)
复杂的
3.合并法