题目

已知函数f(x)=ln(1+x)-x数列{an}满足a1=1/2,ln2+ln a(n+1)=a(n+1)an+f(a(n+1)an),求证ln(1+x)

提问时间：2020-11-19

答案

证明：1）若给定定义域x>=0,对f(x)=ln(x+1)-x,求导得f'(x)=1/(x+1)-1=-x/(x+1)=0.于是得f(x)在x>0上单调递减,又f(x)可在x=0处连续,得f(x)2且k为N+）假设命题成立,则有ak=k/(k+1).iii)那么n=k+1时,有a(k+1)=1/(2-ak)=1/[2-k/(k+1)]=(k+1)/(k+2),故n=k+1时也成立,于是对任意n(为N+)都有an=n/(n+1).3）由于ln(1+x)0).取1/(n+1)（＞0）替换x得ln[1+1/(n+1)]=ln[(n+2)/(n+1)]