题目

如图所示，等腰直角三角形△ABC的直角边AB=2，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度做直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．

（1）设AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式．
（2）当AP的长为何值时S_△PCQ=S_△ABC．

提问时间：2020-11-19

答案

（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC=2．
∵P、Q速度相同，
∴AP=CQ=x，
当0≤x≤2时
S=

x(2-x)

2

=-

1

2

x²+x
当x>2时，
S=

x(x-2)

2

=

1

2

x²-x，
∴S=

- 1 2 x2+x(0≤x≤2) 1 2 x2-x(x>2)

；
（2）由题意，得
当-

1

2

x²+x=2时，
△<0，原方程无解；

1

2

x²-x=2时
解得：x₁=1+

5

，x₂=1-

5

（舍去）
∴AP=1+

5

．
答：当AP=1+

5

时，S_△PCQ=S_△ABC．

（1）由条件可以得出AP=CQ，就有BQ=x+2，PB=2-x或x-2，分两种情况讨论，0≤x≤2，和x＞2时由三角形的面积公式及可以求出结论；
（2）先求出△ABC的面积，根据（1）的解析式分别建立方程求出其值即可．

本题考点：一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式．

考点点评：本题考查了二次函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出二次函数解析式是关键．