题目

已知函数f(x)=2lnx-x^2.如果函数g(x)=f(x)-ax的图像与x轴交于两点A（x1,0),B(x2,0),且0求证：g'(px1+qx2)<0（其中正常数p、q满足p+q=1,q≥p）.

提问时间：2020-11-18

答案

分析：本题易用反证法.我们设AB中点C(xo,0),则有xo=(x1+x2)/2,由p+q=1,q>=p,且p,q为正实数易得0=0,(0=xo.由g(x)=2lnx-x^2-ax,得其一阶导数g'(x)=2/x-2x-a,再对g'(x)求导,得其二阶导数g"(x)=-2/x^2-2<0,(x>0),知g'(x)在x>0上单调递减,得g'(px1+qx2)<=g'(xo),于是要证g'(px1+qx2)<0,只需证g'(xo)<0即可.下面采用反证法证明.假设g'(xo)>=0成立.结合已知可得2lnx1-x1^2-ax1=0.(1),2lnx2-x2^2-ax2=0.(2),2/xo-2xo-a>=0.(3),xo=(x1+x2)/2.(4),联立四式消去a得,存在01)并记h(t)=lnt-2(t-1)/(t+1),(t>1)求导易得h'(t)=(t-1)^2/[t(t+1)^2]>0,(t>1)则有h(t)在t>1上单调递增,又h(t)可在t=1处连续,于是h(t)>h(1)=0,(t>1)即lnt-2(t-1)/(t+1)>0亦即ln(x2/x1)-2[(x2/x1)-1]/[(x2/x1)+1]>0但与(5)式相矛盾,因此g'(xo)>=0这一假设是不成立的,进而有g'(xo)<0,于是g'(px1+qx2)<=g'(xo)<0从而g'(px1+qx2)<0,命题得证.