题目

已知f（x）为二次函数，且f（-1）=2，f′（0）=0，∫₀¹f（x）dx=-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-1，1]上的最大值与最小值．

提问时间：2020-11-18

答案

（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
则f′（x）=2ax+b．
由f（-1）=2，f′（0）=0得

a−b+2＝0 b＝0

即

c＝2−a b＝0

∴f（x）=ax²+（2-a）．
又∫₀¹f（x）dx=∫₀¹[ax²+（2-a）]dx
=[

1

3

ax³+（2-a）x]|₀¹=2-

2

3

a=-2，
∴a=6，∴c=-4．
从而f（x）=6x²-4．
（2）∵f（x）=6x²-4，x∈[-1，1]，
所以当x=0时f（x）_min=-4；
当x=±1时，f（x）_max=2．

（1）先利用待定系数法设出二次函数，根据条件建立三个方程，求出参数即可．
（2）本题是二次函数在闭区间上求最值，通常从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间；开口向上，对称轴为x=0，故在对称轴处取最小值，在±1处取最大值．

本题考点：定积分；函数的最值及其几何意义．

考点点评：本题主要考查了定积分，以及函数的最值及集合意义，属于基础题．