题目

已知k为实数,求方程x^2-(k-2)x+(k^2+3k+5)=0两实数根平方和的最大值和最小值

提问时间：2020-11-18

答案

设两个实数根分别为x1,x2,由根与方程系数的关系得：
x1+x2=-b/a=k-2
x1.x2=c/a=k^2+3k+5
(x1)^2+(x2)^2=(x1+x2)^2-2x1.x2
=(k-2)^2-2(k^2+3k+5)
= -k^2-10k-6
= -(k+5)^2+19
由于方程有两个实数根,但并未说两个不同的根,因此判别式大于等于0：
b^2-4ac=(k-2)^2-4(k^2+3k+5)
= -3k^2-16k-16≥0
解得：
k~[-4,-4/3]
令：
f(x)=(x1)^2+(x2)^2=(x1+x2)^2-2x1.x2
= -(k+5)^2+19
因为k的范围为：k~[-4,-4/3]
f(x)开口向下,根据二次函数的对称性可得：
f(x)max=f(-4)=18
f(x)min=f(-4/3)=50/9
关键是要根据有根这个条件得出k的范围,然后后面的就好理解了.希望对楼主有帮助,如果还有不清楚的再跟我说吧.