题目

为什么从椭圆中的一个焦点发出的一条直线经过椭圆反射都经过另一个焦点呢?

提问时间：2020-11-18

答案

有很多证法.
物理方法：费马原理：光从空间一点传到另一点是沿着光程为极值（极大值、极小值或恒定值）的路径传播的.光程是光在均匀介质中通过路程l与媒介折射率n的乘积nl.从光程恒定即可到处反射光线总是经过另一焦点.
数学方法：
证明椭圆上某点的切线的垂线平分这点的两条焦半径所成的角.
对于x^2/a^2+y^2/b^2=1的椭圆上一点P(x0,y0)切线的斜率是(-b^2x0)/(a^2y0)
因此可得某点切线垂线的斜率及两焦半径的斜率,再用倒角公式计算夹角可证得命题.
应用有很多,最经典的是超声波碎石,把超声波源置于椭球面的一个焦点上,让体内结石位于另一焦点上可碎石.
还有就是放映电影时将灯丝放在一个焦点上,将放胶片的片门放在另一个焦点上,用来放电影.