题目

圆台一个底面半径是另一个底面半径的2倍,而侧面积等于两底面积的和,轴截面的面积是36,求圆台的体积

提问时间：2020-11-18

答案

延长侧面,使之成为一个小圆锥,设小圆半径为r,大圆半径为R,圆台母线长为L,小圆锥母线长为l,
r/R=l/(l+L),
∵R=2r,
∴l=L,
圆台侧面积S(侧)=2πR(l+L)/2-2πrl/2=π(2rl+2rL-rl)=3πrl,
上下底面积S(底)=π*(2r)^2+πr^2=5πr^2,
因侧面积等于两底面积的和,
∴3πrl=5πr^2,
3l=5r,
∴l=5r/3,(1)
设圆台高h,
轴截面积=(2r+4r)*h/2=36,
3rh=36,
rh=12,
h=12/r,(2)
根据勾股定理,(2r-r)^2+h^2=L^2=l^2,
r^2+h^2=l^2,(3),
以上三式联立,
r^2+144/r^2=(5r/3)^2,
r^4=81,
r=3,
R=6,
h=12/3=4,
∴圆台体积V=(πh/3)[r^2+r*(2r)+(2r)^2]=84π.