题目

已知cos(

π

4

+x)=

3

5

，

17π

12

＜x＜

7π

4

，求

sin2x+2sin2x

1-tanx

的值．

提问时间：2020-11-17

答案

解∵

17π

12

＜x＜

7π

4

∴

5π

3

＜x+

π

4

＜2π，
又∵cos(

π

4

+x)=

3

5

∴sin(x+

π

4

)=-

1-cos2(x+ π 4 )

=-

4

5

，
sin2x=-cos(

π

2

+2x)=1-2cos2(

π

4

+x)=

7

25

∴

sin2x+2sin2x

1-tanx

=

2sinx(cosx+sinx)

cosx-sinx cosx

=

sin2x• 2 •sin( π 4 +x)

2 •cos( π 4 +x)

=

sin2x•sin( π 4 +x)

cos( π 4 +x)

=

7 25 ×(- 4 5 )

3 5

=-

28

75

根据x的范围求出

π

4

+x的范围，由cos（

π

4

+x）的值利用同角三角函数间的基本关系求出sin（

π

4

+x）的值，并利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式求出sin2x的值；把所求的式子的分子的第一项利用二倍角的正弦函数公式化简后与第二项提取2sinx，把分母利用同角三角函数间的基本关系化简，然后分子分母都提取

2

，把分子分母都化为一个角的正弦或余弦函数，将各自的值代入即可求出原式的值．

本题考点：二倍角的正弦；弦切互化．

考点点评：考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．学生做题时应注意考虑角的范围．