题目

在平面直角坐标系中,直线y=-1/2x+b交x轴于点A,交y轴于点B,直线y=x交AB于点P,且SΔAOP=8/3.
是否存在直线x=a交x轴于C,交OP于D,交AB于E.
使得CD=2DE?若存在,求a的值；若不存在,说明理由

提问时间：2020-11-17

答案

令y＝－（1/2）x＋b中的y＝0,得：x＝2b,∴点A的坐标是（2b,0）.
联立：y＝－（1/2）x＋b、y＝x,消去x,得：y＝－（1/2）y＋b,∴y＝2b/3.
∴点P的坐标是（2b/3,2b/3）.
依题意,有：△AOP的面积＝（1/2）｜2b｜｜2b/3｜＝8/3,∴b^2＝4,∴b＝±2.
∴AB的方程是y＝－（1/2）x＋2,或y＝－（1/2）x－2.
一、当AB的方程为y＝－（1/2）x＋2时,
　　联立：y＝－（1/2）x＋2、x＝a,消去x,得：y＝－（1/2）a＋2.
　　∴点E的坐标是（a,－（1/2）a＋2）.
　　联立：y＝x、x＝a,得：x＝y＝a,∴点D的坐标是（a,a）.
　　∴｜CD｜＝｜a｜、｜DE｜＝｜－（1/2）a＋2－a｜.
　　∴若存在满足条件的直线x＝a,则有：｜a｜＝2｜－（1/2）a＋2－a｜,
　　∴｜a｜＝｜4－3a｜,∴a＝4－3a,或a＝3a－4.
　　由a＝4－3a,得：a＝1.　由a＝3a－4,得：a＝2.
　　∴此时a的值为 1 或 2.
二、当AB的方程为y＝－（1/2）x－2时,
　　联立：y＝－（1/2）x－2、x＝a,消去x,得：y＝－（1/2）a－2.
　　∴点E的坐标是（a,－（1/2）a－2）.
　　联立：y＝x、x＝a,得：x＝y＝a,∴点D的坐标是（a,a）.
　　∴｜CD｜＝｜a｜、｜DE｜＝｜－（1/2）a＋2－a｜.
　　∴若存在满足条件的直线x＝a,则有：｜a｜＝2｜－（1/2）a－2－a｜,
　　∴｜a｜＝｜4＋3a｜,∴a＝4＋3a,或a＝3a＋4.
　　由a＝4＋3a,得：a＝－2.　由a＝3a＋4,得：a＝－1.
　　∴此时a的值为 －1 或 －2.
综上一、二所述,得：当b＝2时,a的值为 1 或 2；　当b＝－2时,a的值为 －1 或 －2.