题目

设n阶方阵A的特征值为0,1,……,n-1,证明:A+E可逆
书上证明是这样的：因为A的特征值为0,1,……,n-1,所以A+E的特征值为1,2,……,n,从而|A+E|=n!不等于0,所以|A+E|可逆.
但我不太明白从“A的特征值为0,1,……,n-1”怎样得到“A+E的特征值为1,2,……,n”,

提问时间：2020-11-17

答案

设A的特征值为λ,则
A+E的特征值为λ+1
（这儿使用的是公式：f(A)的特征值为f(λ)）
从而
因为A的特征值为0,1,……,n-1,
所以A+E的特征值为1,2,……,n,
从而|A+E|=n!不等于0,所以|A+E|可逆.