题目

定积分求曲线长度的问题
为什么定积分求曲线长度的时候在极坐标的情形下只能用
而不能用直接对ρdθ取积分.
（这里的ρ是θ的函数）
我知道第一种是将曲线近似成了直线段,第二种是近似成了圆弧,可是为什么近似为圆弧不成立呢?二者计算出来的值差了很多.
还有就是既然近似圆弧求曲线长不成立,但为什么近似为圆弧求曲线与坐标轴所成面积就成立了呢?

提问时间：2020-11-17

答案

ds=(ρ^2+ρ'^2)^(1/2)dθ
是由ds=(1+y'^2)^(1/2)dx变换而来
后者的折线替代是是经过证明的,可由达布上下和相等得到,
证明方法一般分析书上有
而ρdθ代换后极限和与曲线长度并不相等
考虑ρsinθ=d [2^(1/2)d