题目

已知：如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的

3

倍，C为弧AB的中点．AB、OC相交于P点，求证：四边形OACB是菱形．

提问时间：2020-11-16

答案

证明：∵C为

AB

的中点，OC为半径，
∴PA=PB，AB⊥OC，
∵AP=

1

2

AB=

3

2

AO，
∴OP=

AO2−AP2

=

AO2− 3 4 AO2

=

1

2

OA=

1

2

OC，
∴PC=

1

2

OC，即OP=PC，
∴四边形OACB是平行四边形，
又∵AB⊥OC，
∴四边形OACB是菱形．

由C为弧AB的中点，OC为半径，利用垂径定理的逆定理得到PA=PB，OC垂直于AB，由AP为AB的一半，根据题中条件用AO表示出AP，在直角三角形AOP中，利用勾股定理表示出OP，进而确定出OP=PC，即四边形ACBO对角线互相平分，可得出此四边形为平行四边形，再由对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证．

本题考点：垂径定理；勾股定理；菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系．

考点点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，菱形的判定，以及平行四边形的判定，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．