题目
~~高中数学 ~~~解析几何一道
过直线L: X+Y=2 与抛物线C相交于点A和点B,抛物线C的顶点在原点且以X轴为对称轴,点P的坐标为(-2,4)P在L上,若PA、AB、PB的长度成等比数列,试求抛物线C的方程.
过直线L: X+Y=2 与抛物线C相交于点A和点B,抛物线C的顶点在原点且以X轴为对称轴,点P的坐标为(-2,4)P在L上,若PA、AB、PB的长度成等比数列,试求抛物线C的方程.
提问时间:2020-11-16
答案
依题意:设直线与抛物线交于A B点,易知A在上侧(第1象限) B在下侧(第4象限)
我们过P作X轴垂线,再过B点作Y轴垂线 在第3象限交于C点 过A作PC垂线交PC于D点
因为:PA,AB,PB成等比数列 也就是说:
PA AB
—— = —— ★
AB PB
在刚才的图中,设A为(X1,Y1) 设B为(X2,Y2)
由★式有:PA/AB=PD/CD= 4-Y1/Y1-Y2
且:AB/PB=Y1-Y2/4-Y2
所以:(Y1-Y2)^2=(4-Y1)(4-Y2) ☆
将☆式化简,把(Y1-Y2)^2化为和的形式:
得到:(Y1+Y2)^2=16-4(Y1+Y2)+5Y1Y2 ▲
接下来 设抛物线Y^2=px 并与直线X+Y=2联立 消去X
得:Y^2+PY-2P=0
由韦达定理:
Y1+Y2=-P
Y1Y2=-2P
代入▲ 式 求出P=2或-8
显然-8不合题意,舍去
所以抛物线为 Y^2=2X
我们过P作X轴垂线,再过B点作Y轴垂线 在第3象限交于C点 过A作PC垂线交PC于D点
因为:PA,AB,PB成等比数列 也就是说:
PA AB
—— = —— ★
AB PB
在刚才的图中,设A为(X1,Y1) 设B为(X2,Y2)
由★式有:PA/AB=PD/CD= 4-Y1/Y1-Y2
且:AB/PB=Y1-Y2/4-Y2
所以:(Y1-Y2)^2=(4-Y1)(4-Y2) ☆
将☆式化简,把(Y1-Y2)^2化为和的形式:
得到:(Y1+Y2)^2=16-4(Y1+Y2)+5Y1Y2 ▲
接下来 设抛物线Y^2=px 并与直线X+Y=2联立 消去X
得:Y^2+PY-2P=0
由韦达定理:
Y1+Y2=-P
Y1Y2=-2P
代入▲ 式 求出P=2或-8
显然-8不合题意,舍去
所以抛物线为 Y^2=2X
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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