题目
已知函数y=f(x)是R上的奇函数,函数y=g(x)是R上的偶函数,且f(x)=g(x+2),当0≤x≤2时,g(x)=x-2,则g(10.5)的值为( )
A. -1.5
B. 8.5
C. -0.5
D. 0.5
A. -1.5
B. 8.5
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D. 0.5
提问时间:2020-11-15
答案
由题意可得:因为函数y=f(x)是R上的奇函数,并且f(x)=g(x+2),
所以f(-x)=-f(x),即g(-x+2)=-g(x+2).
又因为函数y=g(x)是R上的偶函数,
所以g(x+2)=-g(x-2),
所以g(x)=-g(x-4),
所以g(x-4)=-g(x-8),所以g(x)=g(x-8),所以函数g(x)是周期函数,并且周期为8.
所以g(10.5)=g(2.5)=-g(-1.5)=-g(1.5)=0.5.
故选D.
所以f(-x)=-f(x),即g(-x+2)=-g(x+2).
又因为函数y=g(x)是R上的偶函数,
所以g(x+2)=-g(x-2),
所以g(x)=-g(x-4),
所以g(x-4)=-g(x-8),所以g(x)=g(x-8),所以函数g(x)是周期函数,并且周期为8.
所以g(10.5)=g(2.5)=-g(-1.5)=-g(1.5)=0.5.
故选D.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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