题目

如图，已知正方形OABC在直角坐标系xOy中，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点O在坐标原点．等腰直角三角板OEF的直角顶点O在原点，E、F分别在OA、OC上，且OA=4，OE=2．将三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE₁F₁的位置，连接CF₁、AE₁．
（1）求证：△OAE₁≌△OCF₁；
（2）若三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OE∥CF？若存在，请求出此时E点坐标；若不存在，请说明理由．

提问时间：2020-11-15

答案

（1）证明：
∵四边形OABC为正方形，∴OC=OA．
∵三角板OEF是等腰直角三角形，∴OE₁=OF₁．
又三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE₁F₁的位置时，∠AOE₁=∠COF₁，
∴△OAE₁≌△OCF₁．                                         
（2）存在．                                                 
∵OE⊥OF，
∴过点F与OE平行的直线有且只有一条，并与OF垂直，
当三角板OEF绕O点逆时针旋转一周时，
则点F在以O为圆心，以OF为半径的圆上．                        
∴过点F与OF垂直的直线必是圆O的切线．
又点C是圆O外一点，过点C与圆O相切的直线有且只有2条，不妨设为CF₁和CF₂，
此时，E点分别在E₁点和E₂点，满足CF₁∥OE₁，CF₂∥OE₂．            
当切点F₁在第二象限时，点E₁在第一象限．
在直角三角形CF₁O中，OC=4，OF₁=2，
cos∠COF₁=

OF1

OC

=

1

2

，
∴∠COF₁=60°，∴∠AOE₁=60°．
∴点E₁的横坐标为：x_E1=2cos60°=1，
点E₁的纵坐标为：y_E1=2sin60°=

3

，
∴点E₁的坐标为（1，

3

）；
当切点F₂在第一象限时，点E₂在第四象限．
同理可求：点E₂的坐标为（1，-

3

）．      
综上所述，三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得OE∥CF，
此时点E的坐标为E₁（1，

3

）或E₂（1，-

3

）．

（1）根据旋转的性质找到相等的线段，根据SAS定理证明；
（2）由于△OEF是等腰Rt△，若OE∥CF，那么CF必与OF垂直；在旋转过程中，E、F的轨迹是以O为圆心，OE（或OF）长为半径的圆，若CF⊥OF，那么CF必为⊙O的切线，且切点为F；可过C作⊙O的切线，那么这两个切点都符合F点的要求，因此对应的E点也有两个；在Rt△OFC中，OF=2，OC=OA=4，可证得∠FCO=30°，即∠EOC=30°，已知了OE的长，通过解直角三角形，不难得到E点的坐标，由此得解．

本题考点：旋转的性质；直角三角形全等的判定；切线的判定；解直角三角形．

考点点评：本题考查了图形的旋转变化、全等三角形的判定和性质、切线的判定以及解直角三角形等重要知识．能够联系圆的相关知识来解答（3）题是此题的一个难点．