题目

要在宽为28m的海堤公路的路边安装路灯，路灯的灯臂长为3m，且与灯柱成120°（如图所示），路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直．当灯罩的轴线通过公路路面的中线时，照明效果最理想．问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果（精确到0.01m，

3

≈1.732）．

提问时间：2020-11-15

答案

如图，延长BA，CD交于点P．
∵∠BAD=∠C=90°，∠P=30°，BC=14m，AD=3m，
∴在直角△APD中，AP=AD•cot30°=3

3

m，PD=AD÷（sin30°）=6m，
∵∠P=∠P，∠BAD=∠C=90°，
∴△PAD∽△PCB，
∴

AP

PC

=

AD

BC

，
∴PC=

AP•BC

AD

=14

3

m，
∴CD=PC-PD=14

3

-6≈18.25m．
所以应设计18.25m高的灯柱，才能取得最理想的照明效果．

出现有直角的四边形时，应构造相应的直角三角形，利用相似求得PD、PC，再相减即可求得CD长．

本题考点：相似三角形的应用；解直角三角形．

考点点评：本题通过构造相似三角形，综合考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念．