题目

各路大哥 小弟的积分用完了 麻烦各路高手免积分解答哈`` 过点M（2.1）的直线L,分别交X轴,Y轴的正半轴于A,B求分别满足下列直线L的方程：（1）使△AOB面积最小（2）使得｜MA｜·｜MB｜的值最小

提问时间：2020-11-14

答案

用直线的截距式：(x/a)+(y/b)=1 a,b分别表示直线交于X轴,Y轴的点的横纵坐标
把(2,1)点带进去,算出b=a/(a-2)
(1)三角形AOB面积为 a*b/2=a^2/(2a-4)=(a^2-4+4)/2(a-2)
=( (a-2)(a+2)+4 )/2(a-2)
=(a+2)/2+2/(a-2)
=(a-2)/2+2/(a-2)+2≥2+2=4 (公式a^2+b^2≥2ab)
当 (a-2)/2=2/(a-2)时,取得最小值4,所以a=4,b=2
直线方程为 x/4+y/2=1
(2)死算.(注：x^0.5就是x的平方根)
｜MA｜=(1+(a-2)^2)^0.5
｜MB｜=(4+(b-1)^2)^0.5=(4+4/(a-2)^2)^0.5
｜MA｜·｜MB｜=( (1+(a-2)^2)(4+4/(a-2)^2) )^0.5
=(4(a-2)^2+4/(a-2)^2+4+4)^0.5
≥(4*2+8)^0.5=4 (公式a^2+b^2≥2ab)
当 4(a-2)^2=4/(a-2)^2时,取得最小值4,所以a=3,b=3
直线方程为 x/3+y/3=1