题目

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已知x1,x2是一元二次方程x^2-6x+k=0的两个实数根,且x1^2*x2^2-x1-x2=115.
(1)求k的值.
（2）求x1^2+x2^2+8的值.
ps:x1^2是x1的平方.

提问时间：2020-11-12

答案

1）X1^2*X2^2可以看作（X1*X2）^2,所以那个等于115的式子可化为
（X1*X2）^2-（X1+X2）=115
而一元二次方程中,X1+X2=-b/a,X1*X2=c/a,
依题意,X1+X2=6,X1*X2=k,带入刚刚化简好的方程中得k=11或-11.
2）将k代入一元二次方程算算蒂尔塔（b^2-4ac）发现k=11不合题意,舍去.
而X1^2+X2^2+8可化为（X1+X2)^2-2X1*X2+8=36+22+8=66.
其实也可以把k代入原来的一元二次方程直接求得X1和X2,但这题显然不太方便,用2)的方法相对运算量上简单很多.也可以两种方法相互验证一下.