题目

已知：如图,点E、F、G、H分别在菱形ABCD的各边上,AE=AH=CF=CG求证：四边形EFGH是矩形

提问时间：2020-11-11

答案

证明：（1）在平行四边形ABCD中,∠A=∠C,
又∵AE=CG,AH=CF,
∴△AEH≌△CGF
∴EH=GF
在平行四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,
∴AB-AE=CD-CG,AD-AH=BC-CF,
即BE=DG,DH=BF．
又∵在平行四边形ABCD中,∠B=∠D,∴△BEF≌△DGH
∴GH=EF
∴四边形EFGH是平行四边形
（2）解法一：在平行四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD．
设∠A=α,则∠D=180°-α．
∵AE=AH,∴∠AHE=∠AEH=
（180°-α）/2=90°-α/2
∵AD=AB=CD,AH=AE=CG,
∴AD-AH=CD-CG,即DH=DG
∴∠DHG=∠DGH=
[180°-(180°-α)/2]=α/2
∴∠EHG=180°-∠DHG-∠AHE=90°
又∵四边形EFGH是平行四边形,
∴四边形EFGH是矩形
解法二：连接BD,AC．
∵AH=AE,AD=AB,
∴AH/AD=AE/AB,∴HE∥BD
同理可证,GH∥AC
∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD,
∴平行四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD,∴∠EHG=90°
又∵四边形EFGH是平行四边形,
∴四边形EFGH是矩形