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题目
过点P(4,1)作直线l分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A、B,当△AOB(O为原点)的面积S最小时,求直线l的方程,并求出S的最小值.

提问时间:2020-11-11

答案
设A(a,0),B(0,b),(a,b>0),
则直线l的方程为
x
a
+
y
b
=1

又∵P(4,1)在直线l上,
4
a
+
1
b
=1
,…(6分)
又∵1=
4
a
+
1
b
≥2
4
ab

∴ab≥16,∴S=
1
2
ab≥8

等号当且仅当
4
a
=
1
b
=
1
2
,即a=8,b=2时成立,
∴直线l的方程为:x+4y-8=0,Smin=8.         …(12分)
首先,设直线的方程,然后,将P坐标代入,然后,结合基本不等式进行求解.

直线的截距式方程.

本题主要考查了直线的截距式方程,基本不等式等知识,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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