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题目
在正方形ABCD中,点E是AD上一动点,MN⊥AB分别交AB,CD于M,N,连接BE交MN于点O,过O作OP⊥BE分别交AB,CD于P,Q.
探究:(1)如图①,当点E在边AD上时,请你动手测量三条线段AE,MP,NQ的长度,猜测AE与MP+NQ之间的数量关系,并证明你所猜测的结论;
探究:(2)如图②,若点E在DA的延长线上时,AE,MP,NQ之间的数量关系又是怎样请直接写出结论;
再探究:(3)如图③,连接并延长BN交AD的延长线DG于H,若点E分别在线段DH和射线HG上时,请在图③中完成符合题意的图形,并判断AE,MP,NQ之间的数量关系又分别怎样?请直接写出结论.

提问时间:2020-11-11

答案
(1)如图①结论:AE=MP+NQ.(2分)
证明:过Q作QQ'⊥AB于Q',
则∠MQ′Q=90°,
∵MN⊥AB,
∴∠AMN=90°,
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠BAD=∠ADC=90°,
∴四边形AMND为矩形,
∴MN=AD=AB,
∴∠Q′MN=∠QNM=90°,
∴四边形MNQQ′为矩形,
∴QQ′=MN=AB,NQ=Q′M,(3分)
在△BAE和△QQ′P中,
∵PQ⊥BE,
∴∠Q′QP+∠Q′PQ=90°,
∵∠ABE+∠Q′PQ=90°,
∴∠Q′QP=∠ABE,(4分)
∵∠PQ′Q=∠BAE=90°,QQ′=AB,
∴△BAE≌△QQ′P.(5分)
∴Q′P=AE,
∵Q′P=MP+Q′M=MP+NQ,
∴AE=MP+NQ.(6分)
(2)如图②,若点E在DA的延长线上时,结论AE=QN-MP.(8分)
(3)如图,若点E1在线段DH上时,结论:AE1=MP1+NQ1.(10分)
若点E2在射线HG上时,结论:AE2=MP2-NQ2.(12分)
(1)过Q作QQ'⊥AB于Q',则∠MQ′Q=90°,证明四边形AMND为矩形,然后又证明四边形MNOQ′为矩形,最后可证明△BAE≌△QQ′P后可证得AE=MP+NQ.
(2)画出图形可得若点E在DA的延长线上时,结论为AE=QN-MP
(3)画出辅助线,可得若点E1在线段DH上时,结论为AE1=MP1+NQ1;当点E2在射线HG上时,推出AE2=MP2-NQ2

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