题目

定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）＜0恒成立，且f（4）=1，若f（x+y）≤1，则x²+y²+2x+2y的最小值是______．

提问时间：2020-11-11

答案

∵f'（x）＜0∴该函数在（0，+∞）上是减函数
∵f（x+y）≤1=f（4）
∴x+y≥4
设c=x²+y²+2x+2y，则（x+1）²+（y+1）²=c+2，表示可行域上的点到（-1，-1）的距离的平方，也表示一个圆
当x+y-4=0与这样的圆相切时，其半径最小，即可行域上的点到（-1，-1）的距离最小
∴(

|−1−1−4|

2

)2=18=c+2∴c=16
故答案为：16

先根据导数的符号判断函数的单调性，进而确定x+y的取值范围，然后设c=x²+y²+2x+2y，整理成（x+1）²+（y+1）²=c+2的形式后转化为可行域上的点到（-1，-1）的距离的平方的最小值的问题求解．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系以及转化为线性规划的问题求最小值的问题．综合比较强．