题目

已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a₁，b₁]时f（x）的值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时f（x）的值域为[a₃，b₃]，…依此类推，一般地，当x∈[a_n-1，b_n-1]时f（x）的值域为[a_n，b_n]，其中a、b为常数且a₁=0，b₁=1
（1）若a=1，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（2）若a＞0且a≠1，要使数列{b_n}是公比不为1的等比数列，求b的值．
（3）若a＜0，设数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，求（T₁+T₂+…+T₂₀₀₀）-（S₁+S₂+…+S₂₀₀₀）的值．

提问时间：2020-11-11

答案

（1）a=1时，f（x）=x+b在R上是增函数，
由已知，当n≥2时，x∈[a_n-1，b_n-1]，f（x）的值域是[a_n，b_n]，
∴a_n=f（a_n-1）=a_n-1+b，b_n=f（b_n-1）=b_n-1+b，
∴{a_n}、{b_n}都是公差为b的等差数列．
∵a₁=0，b₁=1，
∴a_n=（n-1）b，b_n=（n-1）b+1；
（2）∵a＞0，a≠1，
∴f（x）=ax+b在R上也是增函数，
由已知有b_n=f（b_n-1）=ab_n-1+b，即b_n=ab_n-1+b（n≥2），
∴

bn

bn−1

＝a+

b

bn−1

，
若{b_n}是公比不为1的等比数列，则

b

bn−1

是常数，所以b=0；
（3）∵a＜0，∴f（x）=ax+b在R上是减函数，
由已知可得，b_n=f（a_n-1）=a•a_n-1+b，a_n=f（b_n-1）=a•b_n-1+b，
∴b_n-a_n=-a（b_n-1-a_n-1）（n≥2），
∴{b_n-a_n}是以1为首项，-a为公比的等比数列，
∴b_n-a_n=（-a）^n-1，
∴T_n-S_n=（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b_n-a_n）=

n，a＝−1 1−(−a)n 1+a ，a≠−1

，
于是，（T₁+T₂+…+T₂₀₀₀）-（S₁+S₂+…+S₂₀₀₀）
=（T₁-S₁）+（T₂-S₂）+…+（T₂₀₀₀-S₂₀₀₀）
=

2001000，a＝−1 2000+2001a−a2001 (1+a)2 ，a＜0，a≠−1

．

（1）a=1时，f（x）=x+b在R上是增函数，由题意知，a_n=f（a_n-1）=a_n-1+b，b_n=f（b_n-1）=b_n-1+b，从而可判断{a_n}、{b_n}都是公差为b的等差数列．根据等差、等比数列的通项公式及a₁=0，b₁=1可得两数列的通项公式；
（2）易知f（x）=ax+b在R上也是增函数，由已知有b_n=f（b_n-1）=ab_n-1+b（n≥2），可变形为：

bn

bn−1

＝a+

b

bn−1

，若有{b_n}是公比不为1的等比数列，则

b

bn−1

是常数，由此可得b值；
（3）易知f（x）=ax+b在R上是减函数，由已知可得，b_n=f（a_n-1）=a•a_n-1+b，a_n=f（b_n-1）=a•b_n-1+b，则b_n-a_n=-a（b_n-1-a_n-1）（n≥2），易知，{b_n-a_n}是以1为首项，-a为公比的等比数列，
可得b_n-a_n，从而可求T_n-S_n，则可求得，（T₁+T₂+…+T₂₀₀₀）-（S₁+S₂+…+S₂₀₀₀）=（T₁-S₁）+（T₂-S₂）+…+（T₂₀₀₀-S₂₀₀₀）的值；

本题考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．

考点点评：本题考查等差等比数列的通项公式、数列求和等知识，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大．