题目

设实数a、b、c、d满足ab=c^2+d^2=1,则(a-c)^2+(b-d)^2的最小值

提问时间：2020-11-11

答案

c=sint d=cost
b=1/a
a-c=a-sint b-d=1/a-cost
(a-c)^2+(b-d)^2
=a^2-2asint+sin^2 t +1/a^2-2/a cost+cos^2 t
=1+a^2+1/a^2-2(asint+1/a cost)
=1+a^2+1/a^2-2/a(a^2sint+cost)
=1+a^2+1/a^2-2/a *根号(a^4+1) sin(t+k) (k的值就不说明了）
1,当a>0 ,sin(t+k)=1时 有最小值
最小值=1+a^2+1/a^2-2/a *根号(a^4+1)
=1+a^2+1/a^2-2根号(a^2+1/a^2)
令m=a^2+1/a^2 m>=2
上式=1+m-2根号m
=(根号m)^2-2根号m+1
=（根号m -1）^2
最小值为(根号2-1)^2
2,a<0 ,sin(t+k)=-1时 可以与1一样的求.最小值还是(根号2-1)^2