题目

dx/根号1+x+x^2的不定积分怎么求 好难啊 不懂

提问时间：2020-11-11

答案

熟知不定积分的几个基本公式
就发现本题其实很简单.不用像楼上那位用换元法代换了
∫dx/√(1+x+x^2)
=∫dx/√[(x+1/2)^2+(√3/2)^2]
=∫d(x+1/2)/√[(x+1/2)^2+(√3/2)^2]
=ln( x+1/2+√(1+x+x^2) )+C 【为什么会直接得出这一步呢?】
这个公式你应该记得：∫dx/√(x^2+a^2)=ln( x+√(x^2+a^2) )+C
如果你还不够理解,就令t=x+1/2
则
∫d(x+1/2)/√[(x+1/2)^2+(√3/2)^2]
=∫dt/√[t^2+(√3/2)^2]
=ln( t+√[t^2+(√3/2)^2])+C
=ln( x+1/2+√[(x+1/2)^2+(√3/2)^2] )+C
=ln( x+1/2+√(1+x+x^2) )+C
不用好奇为甚么最后答案和楼上不一样,其实这两个答案本质上是一样的.
因为ln( x+1/2+√(1+x+x^2) )+C
=ln( [ 2x+1+2√(1+x+x^2) ]/2 )+C
=ln(2x+1+2√(1+x+x^2))-ln2+C
令 C-ln2=C1
就得到最终答案了：ln(2x+1+2√(1+x+x^2))+C1