题目

对任意实数x,满足f(2x)=f(x),f(x)在x=0时连续,证明f(x)是常数

提问时间：2020-11-11

答案

证明:任取x≠0,则数列{xn}={x/2^n}(n从0到∞)收敛于0
因为f(x)=f(2x)
所以任取n,f(xn)=f(x0)=f(x)
所以数列{f(xn)}是常数列,其极限等于每一项的值f(x)
因为f(x)在x=0连续,所以lim(f(xn))=f(lim xn)
即f(x)=f(0)
由x的任意性,f(x)=f(0)=const