题目

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P为BC边上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥DC于点F，BG⊥CD于点G，试说明PE+PF=BG．

提问时间：2020-11-11

答案

证明：过点P作PH⊥BG，垂足为H，
∵BG⊥CD，PF⊥CD，PH⊥BG，
∴∠PHG=∠HGC=∠PFG=90°，
∴四边形PHGF是矩形，
∴PF=HG，PH∥CD，
∴∠BPH=∠C，
在等腰梯形ABCD中，∠PBE=∠C，
∴∠PBE=∠BPH，
又∠PEB=∠BHP=90°，BP=PB，
在△PBE和△BPH中

∠PEB＝∠BHP＝90° ∠PBE＝∠BPH BP＝PB

∴△PBE≌△BPH（AAS），
∴PE=BH，
∴PE+PF=BH+HG=BG．

过P作PH⊥BG，把BG分成两段，根据矩形得到PF=HG，再证明△BPH和△PBE全等得到PE=BH，继而可得出结论．

本题考点：等腰梯形的性质．

考点点评：本题考查了等腰梯形的性质，利用“截长补短法”的截长，即把较长的线段截为两段，再分别证明线段相等，从而问题得以解决．