题目

函数f（x）=ax³+bx²+cx在点x₀处取得极小值5，其导函数的图象经过（1，0），（2，0），如图所示，求：

（1）x₀的值；
（2）a，b，c的值；
（3）f（x）的极大值．

提问时间：2020-11-10

答案

（1）由图象可知，在（-∞，1）上f'（x）＞0，在（1，2）上f'（x）＜0．
在（2，+∞）上f'（x）＞0．
故f（x）在（-∞，1），（2，+∞）上递增，在（1，2）上递减．
因此f（x）在x=2处取得极小值，所以x₀=2．
（2）f'（x）=3ax²+2bx+c，
由f'（1）=0，f'（2）=0，f（2）=5，
得

3a+2b+c＝0 12a+4b+c＝0 8a+4b+2c＝5

，
解得a=

5

2

，b=-

45

4

，c=15；
（3）由（1）知函数在x=1处取得极大值f（1）=

25

4

．

（1）观察图象满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极小值，求出x₀的值；
（2）根据图象可得f'（1）=0，f'（2）=0，f（2）=5，建立三个方程，联立方程组求解即可；
（3）由（1）知函数在x=1处取得极大值．

本题考点：利用导数研究函数的极值．

考点点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值、单调性，以及观察图形的能力，属于中档题．