题目

已知椭圆c:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>1),直线l为圆x^2+y^2=b^2的一条切线,记椭圆离心率为e
是否存在这样的e,使得（1）椭圆的右焦点在直线l上,（2）远点o官位直线l的对称点恰好在椭圆c上同时成立,若存在求出e

提问时间：2020-11-10

答案

如图：O是原点,F是右焦点,B是切点,A是O的对称点,作BC⊥x轴,AD⊥x轴
∵OB⊥L,OA⊥L
∴OBA共线
∵|OF|=c,|OB|=b
∴|BF|=√(c²-b²),|BC|=|OB|·|BF|/OF=b√(c²-b²)/c
|OC|=√(OB²-BC²)=√{b² - [b√(c²-b²)/c]²}=b²/c
∴B坐标为(b²/c,b√(c²-b²)/c)
∴A坐标为(2b²/c,2b√(c²-b²)/c)
代入椭圆得
4b^4/(a²c²) + 4(c²-b²)/c² =1
4b^4 + 4a²(c²-b²)=a²c²
∵b²=a²-c²
4(a²-c²)² + 4a²(2c²-a²)=a²c²
两边同时除以a^4,得
4(1-e²)² + 4(2e²-1)=e²
e²=1/4或e²=0(舍)
∴e=1/2