题目

二次函数f（x）满足f(x+1)=2f(x)-x²
1 求f(x)的解析式 2 若 f(x)≥m恒成立,求实数m的取值范围

提问时间：2020-11-10

答案

1,
设二次函数f（x）=ax² +bx+c
则f（x+1）=a(x+1)² +b(x+1)+c
a(x+1)² +b(x+1)+c=2ax² +2bx+2c-x²
ax²+2ax+a+bx+b+c=(2a-1)x² +2bx+2c
ax²+(2a+b)x+a+b+c=(2a-1)x² +2bx+2c
所以a=2a-1,解得a=1
2a+b=2b
b=2
a+b+c=2c
c=3
所以二次函数f（x）=x² +2x+3
2
若 f(x)≥m恒成立,即
x² +2x+3≥m
(x+1)²≥m-2
m-2≤0
m≤2