题目
将n个球随机放入N个盒中,并且每个球放入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X的数学期望(需要详细过程)
提问时间:2020-11-10
答案
定义随机变量Xi如下:当第i个盒子中有球时
Xi=1,
当第i个盒子中无球时:Xi=0
(i=1,2,3,...N)
则Y=X1+X2+X3+...+XN 就是有球的盒子的个数.
由于每个球放进该盒子的概率为:1/N.而不放入该盒子的概率为:(1-1/N).
每个是否放入该盒子相互独立,故N个球均不放入该盒子的概率为:(1-1/N)^N,(1)
而至少有一个球放入该盒子的概率
为:1-(1-1/N)^N.(2)
由此得到Xi的分布律:
P{Xi=0}=(1-1/N)^N,
P{Xi=1}=1-(1-1/N)^N.
由数学期望的性质:
故E(Xi)=0*(1-1/N)^N+1*[1-(1-1/N)^N]
=1-(1-1/N)^N.
(i=1,2,3,...N)
而E(Y)=E(X1)+E(X2)+E(X3)+...+E(XN)
=N*[1-(1-1/N)^N]
即为所求.
Xi=1,
当第i个盒子中无球时:Xi=0
(i=1,2,3,...N)
则Y=X1+X2+X3+...+XN 就是有球的盒子的个数.
由于每个球放进该盒子的概率为:1/N.而不放入该盒子的概率为:(1-1/N).
每个是否放入该盒子相互独立,故N个球均不放入该盒子的概率为:(1-1/N)^N,(1)
而至少有一个球放入该盒子的概率
为:1-(1-1/N)^N.(2)
由此得到Xi的分布律:
P{Xi=0}=(1-1/N)^N,
P{Xi=1}=1-(1-1/N)^N.
由数学期望的性质:
故E(Xi)=0*(1-1/N)^N+1*[1-(1-1/N)^N]
=1-(1-1/N)^N.
(i=1,2,3,...N)
而E(Y)=E(X1)+E(X2)+E(X3)+...+E(XN)
=N*[1-(1-1/N)^N]
即为所求.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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